高等數學與初等數學在數學方法上的差異

　　數學思想和方法是數學科學的靈魂 。對于高等數學學習者而言 ，加 強 對 數 學 思 想 方 法 的 提 煉、 總結和研究，是更好地掌握數學知識 ，提高數學能力的有效途徑 。高等數學與初等數學在數學方法上的差異 主要表現在復雜程度和抽象程度上 。

　　《數學年刊A輯》(雙月刊)創刊于1980年，是由教育部主管、復旦大學主辦的一份面向國內外的綜合性的數學刊物。著名數學家蘇步青院士任名譽主編、李大潛院士任主編(1999年開始)。

　　一、探討高 等數學與初等數學在數學方法上差異的意義

　　數學思想和方法是數學科學的靈魂 。對 數 學 思 想方法作出研究，有助于人們領悟數學的本 質 ，提 高 數學素養。特別對于高等數學 學 習者而言 ，加 強 對 數學思想方法的提煉 、總結和研究，是更好地 掌 握 數 學知識，提高 數學能力的有 效 途徑 。 鑒 于 高 等 數 學 與初等數學在思想方法 、內容等方面都有差 異 ，如 果 能有意識地去尋找高等數學與初等數學在思 想 方 法 上的差異，學好高等數學的可能性就會大大增加 。

　　二、數學思想方法概述

　　數學是一種思維方式，一種思維規范，一 種 思 維 載體[1]。數學思 想 是 既 以 具 體的數學內容為載體 ， 又高于具體數學內容的一種指導思想和普遍 使 用 的 方法[2]。數學方法是以數學為工具對問題 進 行 科 學 研究的方法，包 括對實際問題的 數 學 化 和數 學 內 部

　　三、高等數學與初等數學的內容和方法

　　(一)初等數學的內容和方法

　　初等數學主 要 包 括 兩 部 分 內 容 ：幾 何 學 與 代 數 學[3]。且基本都 是 用 常 量 解 答 常 量 問 題 的 ，可 以 認 為初等數學是常量數學 。

　　數學內容是 數 學 方 法 的 載 體 ，這 就 決 定 了 內 容 影響方法。初等數學的方法大致可以劃分為 以 下 兩大類：

　　(1)數學所獨有的方法 。如：比較法、換 元 法、加 減法、待定系數法、拆相補相法等。這些方法 在 初 等數學應用廣泛，在處理初等數學問題時作用不可估 量。

　　(2)邏輯學中的方法。如：分析法、綜合 法、反 證 法、歸 納 法、窮 舉 法 等，這 些 方 法 與 數 學 內 容 相 互 融合、相互滲透，從而演化成數學中處理問題的 重 要 方法。此例中，分析法、綜 合 法、歸 納 法 都 各問題的探 討，用 數 學這種語 言描述事物的 起 因 、發展、變 化 和 結 果，最 后 經 運 算、推 導 等 一 系 列 數 學 過 程，形成諸如解釋、判定、預知的方法。

　　數學思 想 與 數 學 方 法 密 不 可 分 ，但 有 所 不 同。 數學思想是數 學 方 法 的 精 神 實 質 和 理 論 基 礎 ，數 學 方法則是實施有關數學思想的工具 、方法、技 術 手 段等。可見，數學思想的抽象度 更 高 、理 論 性 更 濃;數 學方法的可操作性和程序性更明顯 ，實踐性更強。

　　(二)高等數學的內容和方法

　　高等數 學 內 容 豐 富 。 以大學本科數學專業為 例，主要包括：高 等 代 數、常 微 分 方 程、微 積 分、概 率 論以及近世代數、數值分析等。可以這樣說，高 等 數 學是研究關系或模式的科學 。高等數學的方 法 繼 承 了初等數學 中 的 一 切 方 法 ，并進一步地深化 、發 展， 體現出更高的 抽 象 性 和 概 括 性 ，同時也拓展出一些 新的方法，如：積 分 法、微 分 法、構 造 法、逼 近 法 等。 新的思想方法的出現是處理高等數學中新問 題 的 結

　　答案(ln2)。 其 中 在 第 一 步 的 轉 化 包 含 著 多 種 靈 活的思路和方法，其轉化結果多樣 ，進而直接 影 響 下 一步計算的復雜程度和正確結果的得出 。這 和 初 等 數學中常使用的公式法 、加減法、換元法等解 答 題 目

　　(一)高等數學與初等數學在數學方法上的差異

　　高等數學與 初 等 數 學 有 著 不 同 的 研 究 對 象 ，從 而在思想方法 的 復 雜 程 度 、抽象性等方面存 在 較 大的差異。

　　1.復雜程度

　　因為高等數 學 要 解 決 的 是 更 為 一 般 的 問 題 ，所 以，高等數學 的思想方法比 初 等數學更復雜 。 以 數 學分析為例，求不規則圖形的面積 、體積是常 見 的 問 題。對面積 的求解過程一 般 是：分 割—求 和—取 極 限。在分割圖形后，有一個取極限的環節 ，隨 著 分 割 數次趨 于 無 窮 ，以至于可近似地 把 分割 得到的 小 圖 形 在 曲 線 上 的部分視為直的 線 段 。 到 此 ，初 學 者 往 往 陷 入 到 底 是曲線還是直 線 的 矛盾 思 維 中 。 最 后 在 求 極 限 的 過程中往往還 要 涉 及到 數 列 、極 限 等 方 面 的 知 識 。 而 初等數學中求體積或面積 的 問 題 與 解 答 相 對 簡 單 得 多 ，主 要 是 規 則 圖 形

　　(看 似 不 規 則 的 圖 形 ，是 規 則 圖 形 經 有 限 次 (最 多 四 次 )的 疊 加 重 合 得 到 的 )的 計 算 ，常 用 的 公 式 包 括 正 方 形 (體 )的 面 積 (體 積 )公 式 ，長 方 形 (體 )的 面 積 (體 積 )公 式 ，圓 (球 )面 積 (體 積 )公 式 等 等 。 計 算 方 法 是 只 須 將 具 體 的 數 據 代入這些基本的 公 式 便 可 得 到 答 案 。 稍難的計算也就是先將一 些 基 本 公 式 進 行 變 形 ，再 進 行 計 算 。

　　2.抽象程度

　　高等數學方法的抽象性明顯高于初等 數 學 。 這 不僅決定于高 等 數 學 內 容 的 高 度 抽 象 性 ，也 決 定 于

　　在此例中，求極限的方法得到了充分的 應 用 ，在理論上給我們熟知 π的一個很好的實質性的定義或 現實背景。這不同于初等數學中只要記住它，知道它 表示圓周率、甚 至 是 一 個 具 體 數 字3.1415926，以 便 于使用它。可見，數學的 內容及其方法影響 所 考 慮 問題的抽象性程度。 此 外，在 上 例 (1)和 (2)式 中 適 當地放大和縮小某些等式使得問題變得更加 形 象 直 觀，大大簡化了問題，有利于問題的進一步 解 答。 這 種方法在解答 高等數學 的問題中經常使用 ，對 于 這 個放大或縮小的“度”的把握已不是初等數學 的 方 法 思想所能比的，其抽象的程度更高 ，創造性的 成 分 更 明顯。同時，此 題的解題 過程也反映出其嚴 密 的 邏 輯性。

　　(二)高 等 數 學 與 初 等 數 學 在 數學方法上的聯 系

　　盡管高等數學與初等數學的數學方法在 抽 象 的 深淺度和層次 上 有 一 定 的 差 別 ，但這并不能阻礙它們存在著實質 性 的 聯 系 ，尤其在處理問題時這種聯 系體現得更為緊密：總是先分析問題的特征，歸 納 出必要的關鍵 條 件，再 選 擇 可 行 的 方 法 處 理 問 題 。 在處理問題的過程中 ，從已有的條件出發 ，沿著 數 學 思 想路線，依據邏輯規則，有順序有步驟地進行 推 理 和 運算，直至到 達目標形成一個完 整 的 邏 輯 體 系 ——— 完整的問題解答體系 。這樣解答問題的策略 在 中 學 和大學都有 不 同 程 度 的 體 現 。 就具體數學方法來 說，初等數學中的方法當然也延續到了高等 數 學 中 。 同時，高等數學 中的不少方法也 可 以 在 初等 數 學 中 找到雛形。例如，在解答下面這個問題時 ，就 采 用 了 高等數學中 用 得 非 常 普 遍 的 一 種 方 法 ———構 造 法，

　　只不過構造的是一個函數 f(x)= 1 。

　　1+x

　　這個問題是：已 知a，b，c 為一三角形的三 邊 長，

　　握數學的內容和方法，加深對數學本質的認 識，提 高

　　數學素養。

　　參考文獻：

　　[1]歐陽絳.數學方法溯源[M].大 連：大 連 理 工 大 學 出版社，2008：193—202.

　　[2]錢佩玲，邵光華.數學思想方法和 中 學 數 學[M]. 北京：北京師范大學出版社 ，1997.

　　[3]張順燕.數 學 的 思 想、方 法 和 應 用 [M].北 京：北 京大學出版社，1997：1—3.

　　[4][美]波 利 亞.怎 樣 解 題：數 學 教 學 法 的 新 面 貌

　　[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上 海 科 技 教 育 出 版 社，2002：120.

　　[M].北京：高等教育出版社，2001.

　　綜上所述，高 等數學與初等數 學 在 內 容 和 方 法

　　上存在許多差 異，但這些差異僅 僅 或 局 限于 形 式 或 內容上的深度和廣度 。深入學習和探討基本 的 數 學 思想方法，有利于高等數學學習者整體地 、統 一 地 把

　　[6]陳紀修，於崇華.數學分析(上冊)(第 2 版)[M]. 北京：高等教育出版社 ，2004.