對(duì)一道經(jīng)典的三角函數(shù)高考試題的多視角探究

　　摘 要：本文從不同的視角出發(fā)，對(duì)2018年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷的一道填空題進(jìn)行研究、剖析，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中懂原理、會(huì)方法，思維得到不斷提升，同時(shí)也能很好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

　　關(guān)鍵詞：高考;三角函數(shù);探究

　　《黑龍江教育(高教研究與評(píng)估)》(月刊)創(chuàng)刊于2005年，是由黑龍江教育雜志社主辦的高教刊物。曾榮獲”黑龍江省社科十佳期刊。

　　最值是函數(shù)圖象的重要特征，也是函數(shù)的重要性質(zhì)，函數(shù)性質(zhì)在高考中屬于必考內(nèi)容，求函數(shù)的最值，在于研究函數(shù)的圖象和利用其性質(zhì)進(jìn)行求解.三角函數(shù)的最值問題的求解也是如此，既可以遷移函數(shù)最值的求解方法，也可以根據(jù)三角函數(shù)自身的定義、圖象和性質(zhì)進(jìn)行研究.在高考備考中，如能從不同的視角出發(fā)，對(duì)三角試題進(jìn)行研究、分析，就能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中更好地掌握方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文以2018年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷的一道填空題為例，闡述解決三角函數(shù)最值問題的多種視角，彰顯其作為高考試題所散發(fā)出來(lái)的魅力.

　　1 題目呈現(xiàn)

　　題目 (2018年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值.

　　2 解法賞析

　　2.1 導(dǎo)數(shù)的視角

　　解析 因?yàn)閒(x)=2sinx+sin2x的最小正周期為T=2π，

　　所以f ′(x)=2(cosx+cos2x)=2(2cos2x+cosx-1)=2(2cosx-1)(cosx+1).

　　令f ′(x)=0，即2cos2x+cosx-1=0.

　　所以cosx=12或cosx=-1.

　　當(dāng)cosx=12，即x=π3或x=5π3時(shí)，函數(shù)f(x)取得極值.

　　當(dāng)cosx=-1，即x=π時(shí)，函數(shù)f(x)取得極值.

　　又因?yàn)閒(5π3)=-3 32，f(π3)=3 32，f(0)=f2π=0，f(π)=0，

　　所以比較大小可知，函數(shù)f(x)最小值為-3 32.

　　評(píng)析 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，再比較極值與端點(diǎn)的函數(shù)值大小確定函數(shù)最值，是求函數(shù)最值常用的方法.本題利用函數(shù)的周期性在一個(gè)周期內(nèi)求三角函數(shù)的極值和周期起始點(diǎn)與終點(diǎn)的函數(shù)值，比較大小獲得函數(shù)的最小值.

　　2.1.2 換元法思想

　　解析 令t=sinx，t∈-1，1，則f(t)=2t+2t1-t2，則f′t=4t2t2-34

　　當(dāng)x∈-1，-32∪0，32時(shí)，f′t<0，ft單調(diào)遞減;

　　當(dāng)x∈-32，0∪32，1時(shí)，f′t>0，ft單調(diào)遞增.

　　則ft在t=-32或32取極小值.

　　因?yàn)閒32=3 32，f-32=-3 32，所以fx的最小值為-3 32.

　　評(píng)析 利用換元法將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的函數(shù)，再進(jìn)行求導(dǎo)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性以及求函數(shù)的極值，進(jìn)而獲得函數(shù)的最值，它變換了函數(shù)表達(dá)形式，讓解題更符合習(xí)慣，換元是一種很好的轉(zhuǎn)化方式，但是在運(yùn)用換元法時(shí)要注意換元后變量的范圍.

　　2.2 平面幾何的視角

　　解析 fx=2sinx+sin2x=2sinx1+cosx.

　　如圖1，以AB為直徑作單位圓，點(diǎn)C為圓上的任意一點(diǎn)，CD⊥AB于點(diǎn)E.

　　設(shè)∠COB=x，則sinx=yC=CE，1+cosx=1+xC=AE，故fx=2sinx1+cosx=2SΔACD，當(dāng)且僅當(dāng)x=∠CAD=60°時(shí)，SΔACD取得最大值3 34.

　　由于fx=2sinx+sin2x為奇函數(shù)，故當(dāng)且僅當(dāng)x=-60°時(shí)，fx的最小值是-3 32.

　　評(píng)析 由于三角函數(shù)具有單位圓的定義，所以在解決相關(guān)問題時(shí)也可考慮構(gòu)造單位圓，利用單位圓內(nèi)的有向線段表示各個(gè)三角函數(shù)值，再利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為三角形面積求最值問題，這個(gè)求最值的過(guò)程很好地利用了三角函數(shù)的單位圓定義.

　　2.3 不等式視角

　　2.3.1 均值不等式法

　　解析 fx=2sinx+sin2x

　　=2sinx1+cosx

　　=4sinx·cos2x2

　　=8sinx2cos3x2

　　=83 3sin2x2cos2x2cos2x2cos2x2

　　≤83 3sin2x2+cos2x2+cos2x2+cos2x244

　　=83×916=3 32.

　　當(dāng)且僅當(dāng)x=π3時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)fx的最大值為3 22，由于該函數(shù)為奇函數(shù)，所以fx的最小值為-3 22.

　　評(píng)析 “基本不等式”是求積型函數(shù)最大值的一種模型，可以有條件地將所求拓展為多元基本不等式.除了條件的要求之外，在模型的構(gòu)造技巧上有一定的難度，掌握消元的技巧即和為定值是關(guān)鍵，學(xué)生在求解函數(shù)最值問題時(shí)有必要掌握好這一常規(guī)工具.

　　2.3.2 琴生不等式法

　　解析 當(dāng)x∈0，π2時(shí)，fx=sinx是上凸函數(shù)，由Jensen不等式得，

　　fx=2sinx+sin2x=sinx+sinx+sin(π-2x)

　　≤3·sinx+x+(π-2x)3=3 32.

　　當(dāng)且僅當(dāng)x=π3時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)fx的最大值為3 22，由于該函數(shù)為奇函數(shù)，所以fx的最小值為-3 22.

　　評(píng)析 此方法利用高等數(shù)學(xué)中的琴生不等式求解.Jensen不等式是函數(shù)凸凹性的重要結(jié)論，在最值問題中具有廣泛的應(yīng)用.在高考中借助高等數(shù)學(xué)背景考查高中數(shù)學(xué)知識(shí)越來(lái)越熱門，因此了解一些高等數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)解題無(wú)疑是如虎添翼.

　　3 試題價(jià)值

　　精心設(shè)計(jì)的高考試題，不僅能為考生提供從不同視角思考問題、分析問題的途徑，也能檢測(cè)考生的分析問題、解決問題的能力，正所謂是“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”.對(duì)知識(shí)的理解也是如此，有了這樣的考題，就能讓我們通過(guò)試題的多姿多彩領(lǐng)悟到了生命的內(nèi)涵與價(jià)值.

　　精心設(shè)計(jì)的高考試題能從多個(gè)不同視角思考問題、理解問題，也能更好地體現(xiàn)教育、考試的公平.

　　精心設(shè)計(jì)的高考試題能成為后續(xù)學(xué)習(xí)的范例，為后續(xù)的教與學(xué)以及考試、命題提供可模擬、可變式、可拓展、可借鑒的典范，具有很強(qiáng)的操作、參考價(jià)值.

　　精心設(shè)計(jì)的高考試題同樣也承載著學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重任，它為學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提供必要的載體.這就是高考試題的價(jià)值體現(xiàn).

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]吳志鵬，潘敬貞.一道經(jīng)典的三角形高考試題賞析[J].理科考試研究，2019(07)：7-9.