基于計算思維面向能力培養(yǎng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革

　　摘  要：針對離散數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀和面臨的挑戰(zhàn)，提出基于計算思維面向能力培養(yǎng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革思想，并從思維轉(zhuǎn)變、3 種能力培養(yǎng)、教學(xué)方式、考核方式和平臺支撐 5 個方面闡述具體教改措施，最后通過課程考核、編程實踐作業(yè)和調(diào)查問卷反饋說明教改效果。

　　賈經(jīng)冬; 李衛(wèi)國， 計算機教育 發(fā)表時間：2021-09-10

　　關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué);計算思維;能力培養(yǎng);編程實踐;教學(xué)改革

　　0 引 言

　　離散數(shù)學(xué)課程自身具有高抽象性、強理論性、邏輯性 [1] 等特點，課程中基本概念、定理和證明較多，這些因素使學(xué)生感覺離散數(shù)學(xué)課程的學(xué)習難度大。此外，因為學(xué)了離散數(shù)學(xué)知識后不像其他專業(yè)課程可以立竿見影在實踐中應(yīng)用，所以學(xué)生會產(chǎn)生學(xué)了無用的感覺，但離散數(shù)學(xué)是軟件工程課程體系中重要的專業(yè)基礎(chǔ)課之一，為了充分發(fā)揮其對其他課程和專業(yè)的基礎(chǔ)作用，面向能力培養(yǎng)的課程教學(xué)改革是必需的。

　　1 教學(xué)現(xiàn)狀和存在的問題

　　(1)從教師角度，講完集合論和圖論，授課時間并不充裕。如果只依賴課內(nèi)學(xué)時，教師無法深入地結(jié)合知識點講授離散數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用，這導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習中難以理解離散數(shù)學(xué)知識點和專業(yè)的關(guān)系，只是機械學(xué)習抽象理論知識。

　　(2)從授課對象角度，處于大二上學(xué)期的學(xué)生學(xué)過的相關(guān)專業(yè)課有限，故他們對軟件工程專業(yè)理解并不深入。在此背景下，縱然授課教師想把離散數(shù)學(xué)知識和其他專業(yè)課建立關(guān)聯(lián)，學(xué)生也不容易理解。例如，等價關(guān)系與軟件測試課中的等價類方法設(shè)計測試用例密切相關(guān)，但學(xué)習此知識點時，學(xué)生基本不了解軟件測試，更不要說設(shè)計測試用例了。因此，依據(jù)學(xué)生的實際情況，目前，教師在課內(nèi)只能以理論知識的授課為主。

　　(3)從課程自身角度，離散數(shù)學(xué)包含的內(nèi)容雜、概念多、公式符號多、理論性強，內(nèi)容相對抽象枯燥，課程名字也導(dǎo)致學(xué)生認為這是一門數(shù)學(xué)課，不是專業(yè)基礎(chǔ)課。如果授課時不結(jié)合專業(yè)知識，學(xué)生會認為這是一門“不知道有什么用” 的課，從而學(xué)習熱情降低。而且因為課程無上機課時和上機作業(yè)，此課程無法像其他編程課程一樣讓學(xué)生學(xué)習的內(nèi)容可以立竿見影地應(yīng)用，故無法說服學(xué)生像對待其他專業(yè)課那樣熱情地對待此課程。

　　綜合上述現(xiàn)狀，離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)中存在的主要問題如下。

　　1)與其他專業(yè)課程學(xué)習脫節(jié)。

　　目前教學(xué)中此課程和其他專業(yè)課程脫節(jié)，并沒有起到基礎(chǔ)支撐作用。如何發(fā)揮離散數(shù)學(xué)的專業(yè)基礎(chǔ)課作用，與其他專業(yè)課有效融合銜接，真正讓軟件工程學(xué)生意識到它對解決實際工程問題的價值，以培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，是應(yīng)考慮的問題。

　　2)與實踐能力尤其編程能力培養(yǎng)脫節(jié)。

　　離散數(shù)學(xué)沒有上機課時和編程實踐，故造成理論和實踐的脫節(jié)。課程中理論知識本就難以理解，再不應(yīng)用于實踐，會使得理論知識掌握不牢固，不利于培養(yǎng)軟件工程學(xué)生的實踐能力。從軟件學(xué)院的培養(yǎng)目標來說，培養(yǎng)學(xué)生的編程能力是基本要求，需要在各門課程中強調(diào)和鍛煉。而此課程很多知識點是可以理論和實踐相結(jié)合的，例如冪集知識點，根據(jù)以往授課經(jīng)驗，很多學(xué)生上完課后寫作業(yè)仍然會做錯。如果輔助編程實踐，讓學(xué)生完成求集合冪集的程序設(shè)計，則不僅讓學(xué)生從軟件工程專業(yè)角度理解和消化此知識點，也鍛煉了學(xué)生的編程能力。

　　3)教學(xué)方式和支撐工具需要更新。

　　目前，課程教學(xué)仍然以課堂教學(xué)為主、微信群答疑為輔。以現(xiàn)有的教學(xué)方式要解決前兩個問題較為困難。例如，如果要增加和其他專業(yè)課相關(guān)的課程案例，課時不變情況下，僅采用課堂教學(xué)是實現(xiàn)不了的。如果增加了編程實踐，在線提交編程作業(yè)并記錄學(xué)生的編程實踐數(shù)據(jù)需要其他的支撐平臺或工具來完成。因此，需要更新教學(xué)方式和教學(xué)支撐工具。

　　2 基于計算思維面向能力培養(yǎng)的離散數(shù)學(xué)教改總體思想

　　計算思維自 2006 年被提出以來，就成為與理論思維、實驗思維比肩的三大科學(xué)思維之一。計算思維是運用計算機科學(xué)的基礎(chǔ)概念去求解問題、設(shè)計系統(tǒng)和理解人類行為等涵蓋計算機科學(xué)廣度的一系列思維活動 [2]。對于軟件工程專業(yè)學(xué)生而言，培養(yǎng)計算思維非常重要。計算思維強調(diào)以概念去求解問題，而離散數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)正符合這種思維，集合論和圖論知識都是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會用抽象描述來表示、分析和計算，以解決問題。因此，首先從思維上改變教學(xué)理念，基于計算思維來進行離散數(shù)學(xué)的教學(xué)改革是符合現(xiàn)在的軟件工程專業(yè)發(fā)展趨勢的。

　　此外，從軟件工程專業(yè)教學(xué)角度，該專業(yè)突出工程素質(zhì)、重視實用性人才培養(yǎng)，而且新工科建設(shè)也明確提出要培養(yǎng)學(xué)生將各種方法論應(yīng)用于 解決實際問題的能力 [3]，因此面向能力的培養(yǎng)應(yīng)該在各門專業(yè)課中落地。離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中也應(yīng)該突出學(xué)生能力的培養(yǎng)，而不僅是理論知識的獲取。計算思維是人類求解問題的一種思維途徑，其最終強調(diào)的是解決問題，是數(shù)學(xué)和工程思維的互補與融合 [2]。針對課程面臨的前兩個問題的改革，目的就是為了培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

　　因此基于計算思維面向能力培養(yǎng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革是適應(yīng)現(xiàn)在專業(yè)發(fā)展要求而產(chǎn)生的，不但要從教學(xué)理念上進行改革，而且要從培養(yǎng)學(xué)生能力上進行改革。

　　3 離散數(shù)學(xué)教改措施

　　3.1 基于計算思維改變教學(xué)模式，突出專業(yè)知識融合的案例教學(xué)

　　要避免學(xué)生把離散數(shù)學(xué)當做純數(shù)學(xué)理論課程學(xué)習，讓學(xué)生認識到離散數(shù)學(xué)對專業(yè)發(fā)展的有用性，就需要改革課程的教學(xué)模式：把講授抽象的理論知識轉(zhuǎn)變?yōu)榻淌谑褂糜嬎銇斫鉀Q問題的思維方法，從而根本改變現(xiàn)有離散數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)思想和理念。

　　要實現(xiàn)這種教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變，最重要的是從教學(xué)內(nèi)容上進行優(yōu)化。授課教師必須在教學(xué)中始終滲透計算思維，加強離散數(shù)學(xué)和其他專業(yè)課的深度融合。為此，首先需要梳理離散數(shù)學(xué)與其他專業(yè)課程間的層次關(guān)系，找到離散數(shù)學(xué)的每個知識點在其他課程的應(yīng)用場景，例如關(guān)系復(fù)合運算在數(shù)據(jù)庫表間關(guān)系的實際應(yīng)用。然后，設(shè)計各種教學(xué)案例，從案例出發(fā)介紹知識。例如，可以一個具體項目為背景講圖論的關(guān)鍵路徑知識點。

　　通過與其他專業(yè)課建立關(guān)聯(lián)，離散數(shù)學(xué)的教學(xué)不再枯燥抽象，而是有機融合到專業(yè)問題的求解中，則能夠培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問題的綜合能力和高級思維。

　　3.2 加強離散數(shù)學(xué)編程實踐，面向 3 種能力的培養(yǎng)

　　編程能力是軟件工程類學(xué)生專業(yè)能力的一個重要指標，需要在大一、大二低年級階段持續(xù)強化，因此可以把離散數(shù)學(xué)的課程教學(xué)和編程能力鍛煉進行有機結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的編程能力，也使得學(xué)生能夠感受到知識立竿見影的應(yīng)用效果。

　　這種情況下，就需要合理設(shè)計難度適中的離散數(shù)學(xué)編程題目。比如關(guān)系的傳遞閉包，理論公式是關(guān)系復(fù)合運算后求廣義并，但是從關(guān)系矩陣表示就是求布爾矩陣的乘法和加法，這是可以通過編程來實現(xiàn)的，所以這個知識點可以讓學(xué)生進行編程練習。這個過程既強化了學(xué)生的編程能力的培養(yǎng)，也增強了理論知識的直觀性和趣味性。

　　此外，離散數(shù)學(xué)的圖論部分，涉及很多的算法，比如最小生成樹、最短路徑、匹配問題等都可以通過編程實踐來理解算法思想?，F(xiàn)實的很多問題都可以用圖來抽象建模，因此結(jié)合實際問題的圖論部分的編程實踐，不僅可以鍛煉學(xué)生的編程能力，也可以培養(yǎng)學(xué)生解決專業(yè)問題的能力。

　　在學(xué)習離散數(shù)學(xué)之前，學(xué)生課內(nèi)僅學(xué)過了 C 語言。編程語言的多樣性和發(fā)展的快速性，使得課內(nèi)不可能講授所有的開發(fā)語言，因此，編程語言的自學(xué)非常重要。在本課程中鼓勵學(xué)生用不熟悉的新語言(如 Python)完成實踐，也有利于培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力。

　　3.3 改進課程教學(xué)方式，充分發(fā)揮第二課堂的作用

　　離散數(shù)學(xué)只有 32 學(xué)時，講完集合論和圖論知識點，課時并不充裕，如果再擴展知識點，加入案例教學(xué)，顯然課時更加緊張。如果不改革教學(xué)方式，仍然全部課內(nèi)講授，必然會導(dǎo)致理論知識點出現(xiàn)“夾生飯”現(xiàn)象，而擴展的案例知識會讓學(xué)生聽得囫圇吞棗、理解不透。

　　要想達到教學(xué)改革的目的，教學(xué)方式上必須進行改革?？梢猿浞职l(fā)揮第二課堂——微信群的作用，提前將簡單的知識點(如集合表示等內(nèi)容)發(fā)到第二課堂讓學(xué)生首先自學(xué)，課內(nèi)老師進行相關(guān)知識點的案例教學(xué)和與學(xué)生的討論互動教學(xué)。此外，對有些擴展知識點可以放在第二課堂，供學(xué)生學(xué)完課內(nèi)知識后自學(xué)以拓寬知識面。

　　3.4 改進課程考核方式，使其更加面向能力培養(yǎng)

　　離散數(shù)學(xué)以前的考核是由課后習題作業(yè)成績和期末考試成績兩部分構(gòu)成，期末考試主要是對理論知識點的筆試考核。這種考核方式無法滿足計算思維和專業(yè)能力的培養(yǎng)。既然從課程內(nèi)容上強調(diào)了計算思維融合來設(shè)計教學(xué)案例，從實踐上強調(diào)了課程編程作業(yè)，那么從考核上需要反映改革的內(nèi)容。

　　擬從兩方面改進課程考核方式。首先，平時作業(yè)成績中要包含編程實踐作業(yè)成績。對于編程實踐不僅要強調(diào)完成，還要強調(diào)質(zhì)量，以培養(yǎng)學(xué)生寫優(yōu)質(zhì)代碼的能力。其次，考試內(nèi)容的教學(xué)改革，不僅考查理論知識點，還增加案例分析，讓學(xué)生分析需要用什么知識點來建模解決問題。

　　3.5 借助多個支撐平臺來促進課程可持續(xù)發(fā)展

　　離散數(shù)學(xué)課程目前主要借助學(xué)校的課程中心來進行資源共享，但要實現(xiàn)如上教學(xué)內(nèi)容和方式的改革，并且促進課程可持續(xù)發(fā)展，必須借助多個教學(xué)平臺的支撐。一方面，現(xiàn)有的課程中心平臺仍然可以實現(xiàn)資源的共享;另一方面，需要借助一個編程平臺來實現(xiàn)編程題庫和在線編程實踐。對于后者，可以依托北京航空航天大學(xué)現(xiàn)有的 accoding 在線編程練習平臺，此平臺可以提供豐富的實踐練習題庫，鍛煉學(xué)生解決實際問題的能力。此外，在線編程平臺能記錄學(xué)生的實踐效果，比如提交通過次數(shù)等。通過數(shù)據(jù)分析，學(xué)生可以檢視自己的實踐能力。

　　4 離散數(shù)學(xué)教改實踐結(jié)果

　　按照以上教改總體思想和措施，2020年秋季，北京航空航天大學(xué)軟件學(xué)院對離散數(shù)學(xué)展開了教學(xué)改革實踐，通過 3 項內(nèi)容可以反饋此次實踐效果。首先，在期末考試中增加了具有實際背景的分析題，考查學(xué)生選擇合適的圖來抽象建模并解決問題的能力，最終 90% 的學(xué)生都能夠正確解決，但也有 10% 的學(xué)生分析建模錯誤。其次，課程中指定用編程語言 Python 完成 3 次實踐作業(yè)。針對同一問題，例如傳遞閉包的編程實踐作業(yè)，239 名學(xué)生中 71% 的學(xué)生可以在 3 次內(nèi)(含 3 次)在線提交代碼通過，但是也有 5% 的學(xué)生至少要 10 次以上才能正確通過。從代碼行來看，通常 14~22 行解決問題，也有學(xué)生非常精簡地用 9 行代碼解決了問題，但也有 4% 的學(xué)生至少需要 40 行以上的代碼。這些都反映了學(xué)生編程能力的差異，通過把相關(guān)數(shù)據(jù)反饋給學(xué)生，并把優(yōu)秀編程作業(yè)展示給學(xué)生，可以促進學(xué)生了解差距，提高自身開發(fā)能力。最后，課后通過調(diào)查問卷來了解學(xué)生對 3 種能力培養(yǎng)的滿意度。學(xué)生對通過實際問題建模來培養(yǎng)解決問題能力的滿意度為 92.2%，對離散數(shù)學(xué)中編程實踐能力培養(yǎng)的滿意度為 80%，對自學(xué)能力培養(yǎng)的滿意度為 73%。后兩個能力培養(yǎng)滿意度不高和實踐中指定學(xué)生用之前不熟悉的 Python 來完成編程作業(yè)有關(guān)。根據(jù)調(diào)查，53% 的學(xué)生回答更愿意用已經(jīng)會的編程語言而不是自學(xué)新的語言來完成作業(yè)，這主要是因為在學(xué)期中間多門課并行，自學(xué)新語言學(xué)生感到時間緊張。這些反饋數(shù)據(jù)為后續(xù)課程的持續(xù)改進提供了參考。

　　5 結(jié) 語

　　計算思維是每個軟件工程專業(yè)學(xué)生都應(yīng)該具備的解決問題的思維。在計算思維的指導(dǎo)下，從思維轉(zhuǎn)變、能力培養(yǎng)、教學(xué)方式、課程考核和平臺支撐方面進行的面向 3 種能力培養(yǎng)的教學(xué)改革實施后，經(jīng)過調(diào)查反饋，3 種能力的培養(yǎng)基本達到預(yù)期目標，但也存在改進的空間。在后續(xù)的教學(xué)實施過程中，筆者會根據(jù)反饋調(diào)整，努力使離散數(shù)學(xué)不僅完成理論授課也完成學(xué)生專業(yè)能力的培養(yǎng)。